Die Wirkung in einem beliebigen Bezugssystem

Für den Abstand eines beliebigen Bezugssystems des Makrokosmos schreiben wir gemäß (2.32):

$$dZ^2 \ = \ dR^2 (\, 1 - \alpha^2\,) \ + \ c^2 dt^2(\, 1 - \beta^2... ...ystyle\frac {v^2}{c^2}) \ \mbox{und} \ \alpha^2=(\displaystyle\frac {c^2}{u^2})$$ (14.14)

Nun lautet das Wirkungsintegral eines beliebigen Bezugssystems mit (4.10), (4.46), (5.20), (5.22)

$$S = \displaystyle\int \limits_{(X_i,x^i)} (\, P_{1k} + p^{k1}\, ) \ (\, dX_{kj} + dx^{jk}\, ) \ +$$

$$\, \displaystyle\int \limits_{(X_i,x^i)} (\, dX_{1k} + dx^{k1}\, ) \ (\,M\, A_{kj} + m\, a^{jk}\, )$$ (14.15)

Die Variation dieser Gleichung liefert gemäss unserer Förderung $\delta S =0$ die Bewegungsgleichung unseres Problems. Wie schon bei (4.30) bzw. (4.62) finden wir auch hier mit

$$\fbox {$ \ \delta A_{kj} = ( \displaystyle\frac {\partial}{\parti... ...(\displaystyle\frac {\partial}{\partial x^{jk}}a^{jk}) \delta x^{jk} \quad \ $}$$ (14.16)

nach Ausführung der partiellen Integration:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\cdots - \displaystyle\int \limits (... ...} + V^{k1} \, m \, {a^\prime}^{kj}\, )ds \ (\delta X_{jk} + \delta x^{kj}) \ $}$$ (14.17)

Da der gasammte Ausdruck verschwinden wird, muß der Integrand ebenfalls verschwinden.

$$\displaystyle\frac {d}{ds} (\,Mc\, U_{1k} + mc\, V^{k1}\, ) \, + ... ...^\prime_{kj}) + V^{k1} \, (m \, {a^\prime}^{jk}) \, = \, (\, 0\ , \ \vec{0}\, )$$ (14.18)

Für die bessere Veranschaulichung der Gleichung (14.18) betrachten wir zuerst die Terme der IT und vernachlässigen dabei seine imaginären Glieder. Weiterhin setzen wir für die Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{g}$

$${\bf rot} \times (\vec{t}\, \phi) \ = \ \phi\, ({\bf rot} \times ... ...\times {\bf grad \, \phi} \quad \mbox{und} \quad \vec{g} \ = \ -{\bf grad} \phi$$ (14.19)

die entsprechenden Ausdrücke ein, so ergibt sich, falls man die Limits aller um die Sonne umkreisenden Planetenmassen gleich der Sonnenmasse setzt ( $\lim\limits_{z\to n}\sum\limits_{z=1}^n m_z\, =\, M$):

$$Mc^2\, \displaystyle\frac {d^2}{ds^2}(\, 0 \ , \ \vec{R}\, ) \ = ... ...rac {\vec{t} \times (\, \vec{t} \times \vec{g}\, )}{\sqrt{\, 1 - \alpha^2}}\, )$$ (14.20)

Bei der Differenzierung der linken Seite halten wir die $\alpha$ Koeffizienten (2.66) Konstant und in der rechten Seite berücksichtigen wir den rechten Winkel ( $\vartheta=90^{\circ}$) des Skalarprodukts $\vec{t}.\vec{n} = \, cos\vartheta$ (2.67), so finden wir:

$$\displaystyle\frac {c^2}{(1 - \alpha^2)} \ (\displaystyle\frac {\... ...{R}) \ = \ \displaystyle\frac {\gamma \ M}{R^2\, \sqrt{1 -\alpha^2}} \, \vec{n}$$ (14.21)

Mit der Erkenntnis, daß die konstanten Terme die Bewegungsgleichungen nicht beeinflußen, erhalten wir für $\alpha^2$ ( $\alpha^2 \ll 1$)

$$\alpha^2 \ \simeq \ 2\, \displaystyle\frac {\gamma \, M}{c^2\, R}... ...gamma\, M}{c^2} \ = \ \mbox{der Schwarzschildradius\index{Schwarzschildradius}}$$ (14.22)

Dabei gehen wir von den Tatsachen aus, daß die makroskopische Prozesse viel langsamer als die mikroskopischen vorgehen.

$$v^2 \ll c^2 \quad \Rightarrow \quad \beta^2 = \alpha^2 = 2\displaystyle\frac {\rho_0}{r}$$ (14.23)

Das Produkt der dualen Geschwindigkeiten der Materiewellen $u v = c^2$ geht in imaginären $uv = ic^2$ über. Diese Tatsache ist auf die reelle Raum-Zeit-Metrik der Sonne (jedes Planeten) zurückzuführen. Demnach ist der Abstand eines beliebigen Bezugssystems der Makrophysik im Gegensatz zu (14.14) durch die Beziehung

$$dZ^2 \ = \ dR^2 (\, 1 + \alpha^2\,) \ + \ c^2 dt^2(\, 1 - \beta^2... ...splaystyle\frac {dR^2}{ (\, 1 - \alpha^2\,) }\ + \ c^2 dt^2 (\, 1 - \beta^2\, )$$ (14.24)

gegeben. Für die Planetenbahnen um die Sonne geht $R_{(X,Y,Z)} \Rightarrow r_{(x,y,z)}$ über und wegen (14.23) gilt:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}dZ^2 \ = \ \displaystyle\frac {dr_{(... ...\,)} \ + \ c^2 dt^2(\, 1 - 2\, \displaystyle\frac {\rho_0}{r}\,) \quad \quad $}$$ (14.25)

Es ist erstaunlich, daß der Abstand (infinitesimales Linienelement) eines beliebigen Bezugssystem aus der Steinzeit-Physik mit seinen undurchschaubaren mathematischen Ansätzen und primitiven Modelvorstellungen des Kosmos diesem der dualen Physik übereinstimmt. In Kugelkoordinaten ist diese Gleichung mit radialen Kontration:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}dZ^2 \ = \ \displaystyle\frac {dr^2}... ...hi^2 \ + \ c^2 dt^2(\, 1 - 2\, \displaystyle\frac {\rho_0}{r}\,) \quad \quad $}$$ (14.26)

Aus dieser Beziehung kann man offenbar die Bewegungsgleichung der Planeten ableiten und somit aus der Beobachtung herausgefundener Problematik unseres Sonnensystems, wie die Rotverschiebung der Spektrallinien und die Lichtablenkung oder die Prihelverschiebung, abhandeln. Wir leiten nun zum Schluß die Gesetze des freien Falls ab. Im Gegensatz zur Impuls-Theorie basiert die Energie-Theorie auf der Existenz der kompromierten Materie im engsten Raum. Die ET-Terme in (14.18) lauten:

$$\displaystyle\frac {d}{ds} (\, mc\, V^{k1}\, ) \, + \, V^{k1} \, (m \, {a^\prime}^{jk}) \, = \, (\, 0 \ , \ \vec{0})$$ (14.27)

Die runde Klammer im Zweiten Term vereinfachen wir bis auf den Ausdruck $(\, 0\, ,\ -i\displaystyle\frac {\vec{g}}{c})$ und finden für den zweiten Term:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, \displaystyle\frac {\vec{\... ...yle\frac {\vec{\beta} \times \vec{g}}{c\sqrt{1-\beta^2}}\, \right] \right) \ $}$$ (14.28)

Für die imaginären Glieder in (14.27) erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {d\vec{v}}{cdt\sq... ...\rule[-4mm]{0cm}{1cm}g\, = \, \gamma \, \displaystyle\frac {M_E}{r_E^2}\quad $}$$ (14.29)

Nach Separation der Differentialkoeffizient und Integration dieser Gleichung finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}arcsin\beta\, - \, arcsin\beta_0 \, = \, -\displaystyle\frac {g\, t}{c}\quad $}$$ (14.30)

Für die linke Seite gilt:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}arcsin\beta - arcsin\beta_0 \, = \, arcsin(\beta\sqrt{1-\beta^2_0}-\beta_0\sqrt{1-\beta^2})\quad $}$$ (14.31)

Mit Rücksicht auf $\beta^2_0\ll 1$ und $\beta^2\ll 1$ können wir schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}arcsin\beta - arcsin\beta_0 \, \approx \, arcsin(\beta-\beta_0)\quad $}$$ (14.32)

Letztlich erhalten wir für $\beta$:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\displaystyle\frac {v}{c})\, = \, - sin(\displaystyle\frac {g\, t}{c}) \, + \, (\displaystyle\frac {v_0}{c}) \quad $}$$ (14.33)

Wir berücksichtigen den langsamen Prozess-Ablauf der Makro-Systeme gegenüber der Mikro-Physik $(\, g \, t\ll c\, )$ also für kleine $sin$-Werte $(sin(\displaystyle\frac {g \, t}{c})\, \approx \, \displaystyle\frac {g\, t}{c})$. Allgemein findet man folgende drei Beziehungen:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ddot{r}\ \, = \, -g \quad \quad$}$$ (14.34)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\dot{r}\, = \, -g\, t \, + \, v_0 \quad \quad $}$$ (14.35)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}r \, = \, -\displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }\, g\, t^2 \, + \, v_0\, t \, + \, r_0 \quad $}$$ (14.36)

Die Abhandlung der makroskopischen Physik ist nicht das Zielthema unserer Darlegungen gewesen, außerdem würde sie den Rahmen dieses Buches sprengen.

Wir schließen nun mit mahnenden Worten:

Leider ist unser Planet durch die angewandten Naturwissenschaften weitgehend zerstört. Denken vor Handeln hätte das Schlimmste verhindert, aber das Vorausdenken ist nie die Stärke der Menschen gewesen.