Die 2. Teilchen-Gleichungen der Energietheorie

Wir errechnen nun die linke Seite von (7.2) und vergleichen die Resultate mit der rechten Seite. Für seine Komponente erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\partial^{k1}\ . \ \acute{a^{kj}} \ ... ...k} \ . \ ( \acute{a^{2j}} \ , \ \acute{a^{3j}} \ , \ \acute{a^{4j}} )) \quad $}$$ (7.9)

Für die Viererdivergenz finden wir:

$$\displaystyle\frac {\partial}{c \partial t}(\displaystyle\frac {\... ...}+ \displaystyle\frac {{\vec{\ e \ }^+}_{(ct)}}{c}) + i{\sf div} \ \vec{\; b^-}$$ (7.10)

Zunächst ordnen wir zu besseren Übersicht diese Beziehung in zwei Gruppen um. Die erste Gruppe ist ungleich null und bleibt erhalten :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\displaystyle\frac {\partial^2}{c^2... ...c}) + {\sf div}(\displaystyle\frac {{\vec{\ e \ }^+}_{(\vec{r})}}{c}) \qquad $}$$ (7.11)

Jeweils der zweite Term in den runden Klammern in (7.10) bilden die zweite Gruppe. In der zweiten Gruppe gleichen sich die div der zeitlichen Komponenten der elektrischen Feldstärke und die zeitliche Änderung des Skalars div$\vec{a^-}$ aus. Übrig bleibt die physikaliche Aussage des letzten Gliedes div($\vec{\; b^-}$), die wir bis zum späteren Zeitpunkt verschieben.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Big( \displaystyle\frac {\partial}{... ... {\partial}{c \partial t}\vec{\; a^-}\Big) + i{\sf div}\ \vec{\; b^-}\ = 0 \ $}$$ (7.12)

Für die Viererrotation erhalten wir:

$$\displaystyle\frac {\partial}{c \partial t}(i\displaystyle\frac {... ...-}) - {\sf rot}(\displaystyle\frac {\vec{ \ e \ }}{c}) + i{\sf rot}\vec{\; b^-}$$ (7.13)

Ähnlich wie bei der Viererdivergenz unterteilen wir die Glieder von (7.13) in zwei Gruppen. Nach der Aufspaltung des Feldstärkevektors kann man für das erste und dritte Glied in (7.13) schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\displaystyle\frac {\partial}{c \pa... ...artial}{c \partial t}(\displaystyle\frac {\varphi^+}{c}) \ = \ \vec{0} \quad $}$$ (7.14)

Die zeitliche Änderung der elektrischen Feldstärke ist der Gradient der zeitlichen Änderung des Skalars $$\frac {\varphi^+}{c}$$ entgegengerichtet. Einen weiteren Nullvektor erhalten wir aus dem zweiten und fünften Glied in (7.13):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(-\displaystyle\frac {\partial}{c \p... ...\displaystyle\frac {\partial}{c \partial t}\vec{\; a^-}) \ = \ \vec{0} \quad $}$$ (7.15)

Die Beziehungen (7.12), (7.14) und (7.15) bilden die Komponenten des Nulltensors. Unter der Vernachlässigung der runden Klammer in (7.12) und die (7.14) finden wir für seine Komponente:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Big( {i\sf div}\vec{\; b^-}\ , \ \ ... ...(\displaystyle\frac {\vec{ \ e \ }}{c})) \Big) = ( \ 0 \ , \ \ \vec{0} \ ) \ $}$$ (7.16)

Aus dem Prinzip des maximalen Aufwands (die geschlossenen Feldlinien) schließen wir, daß die magnetische Induktion $\vec{\; b^-}$ Quellfrei ist und daher die Divergenz vom $\vec{\; b^-}$ verschwidet. Außerdem verschwindet die Rotation der elektrischen Feldstärke $\vec{e^+}_{(r)}$. Somit gilt als letztes:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}{\sf rot \ grad} \ (\displaystyle\frac {\varphi^+}{c}) \ = \ \vec{0} \ \qquad $}$$ (7.17)

Mit (7.11) und der Restglieder in (7.13) lautet die Komponente dieses Tensors:

$$\fbox {$ \begin{array}{rcl}\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Big( \displaysty... ...}\ \vec{\; a^-}- {\sf rot}\ \vec{\; b^-}\Big)\Big) \end{array} \qquad \qquad $}$$ (7.18)

Aus dem Vergleich mit der rechten Seite von (7.2) fnden wir :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}{\sf grad} \ (\, {\sf div}\vec{\; a^... ...f rot} (\, {\sf rot}\vec{\; a^-}\, ) \ = \ {\bf grad}^2 \ \vec{\; a^-}\qquad $}$$ (7.19)

Die Dimension von (7.18) wie man entnehmen kann, ist die äquivalente magnetische Ladung $R_V e$ = Vs pro Volumen. Sie wird daher als Viererdichte bezeichnet. Wir gehen grundsätzlich davon aus, daß vom Volumen eingeschloßene Ladung elektrostatischen Ursprung hat. Um die üblichen Maxwellschen Gleichungen zu erhalten, müßen wir die Viererdivergenz (7.4) als Konstant annehmen. Folglich verschwinden alle seine Ableitungen. Die Komponente dieses Nulltensors aus (7.18) lautet:

$$\fbox {$ \rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Big(\displaystyle\frac {\partial}{... ...sf grad} ({\sf div}\vec{\; a^-})\Big) \ = \ (\, 0 \ , \ \ \vec{0}\, ) \qquad $}$$ (7.20)

Führen wir die Bezeichnung $\j^{jk}$ für den Tensor der Viererdichte ein und unter der Berücksichtigung von (7.16) und (7.20) erhalten wir die berühmten Maxwellsche Gleichungen:

$$\fbox {$ \rule[-4mm]{0cm}{1cm}\j^{k1} \ = \ R_V \ \Big({\sf div}(... ...playstyle\frac {{\vec{\ e \ }^+}_{(ct)}}{c}) - {\sf rot} \vec{\; b^-}\Big) \ $}$$

Diese Annahme wie man aus dem Vergleich mit der rechten Seite von (7.2) entnehmen kann ist nicht zuläßig. Die vollständige Gleichung lautet :

$$\fbox {$ \rule[-4mm]{0cm}{1cm}\j^{k1} \ = \ R_V \ \Big(\displayst... ...e\frac {{\vec{\ e \ }^+}_{(ct)}}{c}) + {\sf grad}^2 \vec{\; a^-}\, )\Big) \, $}$$ (7.21)

Für die symbolische Darstellung der Viererdichte schreiben wir vorerst:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\j^{k1} \ = \ R_V \ ( \ {\rho^+}_{(c... ...}\ , \ \ -i\displaystyle\frac {{\vec{\j}^{\ -}}_{(ct,\vec{r})}}{c}\ ) \qquad $}$$ (7.22)

Offenbar ist die von dem Volumen $v$ eingeschloßene Elementarladung ($e^+$) nach dem Gesetz (4.69)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}{\rho^+}_{(ct,\vec{r})}\ = \ {\rho^+... ...t\{ \displaystyle\frac {p\, ct \ - \ \vec{p} . \vec{r} }{\hbar} \right\} \ \ $}$$ (7.23)

räumlich verteilt.