Die Skalarspiegelung (IT)

In der Impulstheorie ist das Tensorprodukt unter den Skalarenspiegelung durch die Beziehungen :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(dX_{jk}) \ . \ (dX_{jk})^* = (dX_j)... ...ta}^j_k \ \ \ \ \ \ \ mit \ \ (dX_{jk})^* = {\delta}^j_k \ \ dX_{kj} \ \ \ \ $}$$ (3.1)

gegeben. Die transponierte Matrix wird durch (* - Zeichen) von der Normalform unterschieden. Der Einheitstensor der Skalarspiegelung auf der rechten Seite von (3.1) unterscheidet sich von dem Einheitstensor der Vektorspiegelung (2.22) durch das negative Vorzeichen.

$$\fbox {$ \delta_k^j = \left\{ \begin{array}{r@{\quad : \quad}l} 0 & j\not= k \ \ \ \ \\ -1 & j = k \end{array} \right.\ $}$$ (3.2)

Das hat zur Folge, daß die Komponentenbeträge dieser Vierertensoren imaginänrer Natur sind. Erwähnenswert bleibt der Abstand, der nicht mehr reell ist. Dieser neue Skalar verändert die Komponenten der Vierergeschwindigkeiten, die bis auf den Faktor $(-i)$ der Vierergeschwindigkeit den Vektorspiegelungen gleichkommt. Ihre Viererbeschleunigungen dagegen stimmen bis auf den Faktor $((-i)^2 = -1)$ überein. Mit $d\widehat{S}$ bezeichnen wir den Abstand und erhalten :

$$\fbox {$ d\widehat{S} = i dS \ \ \ \ oder \ \ \ \ d\widehat{S} = i dR \ \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac{c^2}{u^2}} $}$$ (3.3)

Für die Vierergeschwindigkeit $\widehat{U}_{1k}$ können wir schreiben :

$$\fbox {$ \widehat{U}_{1k} = -i U_{1k} \ \ \ \ oder \ \ \ \ \wideh... ...isplaystyle\frac {\vec{t}}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}}) \ $}$$ (3.4)

und schließlich lautet der Viererbeschleunigungsvektor $\widehat{w}_j$:

$$\fbox {$ \widehat{w}_j = -\displaystyle\frac {d U_j}{dS} = \Bigg(... ...times \ \vec{g} \ )}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}} \ \Bigg) $}$$ (3.5)