Partielle Differentiale 1. Ordnung (IT)

Der Vierergradient bildet die Komponenten der Tensorgradienten.

$$\fbox {$ \ \displaystyle\frac {\partial}{\partial X_j}= (i\displa... ...e\frac {\partial}{\partial Y}, \displaystyle\frac {\partial}{\partial Z})) \ $}$$ (2.48)

Oft ist es bequem, die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten durch

$${\partial}_j = \displaystyle\frac {\partial}{\partial X_j}$$ (2.49)

abzukürzen. Die Matrix des Vierergradiententensors lässt sich darstellen

$${\partial}_{jk} = \left( \begin{array}{llcl}i\displaystyle\frac {... ...l}{\partial X}& i\displaystyle\frac {\partial}{c \partial T}\end{array} \right)$$

Eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung finden wir bei konstanter Geschwindigkeit $\vec{u}$ aus der Beziehung :

$$\displaystyle\frac {d\Psi}{m_0cdS} \ = \ -\displaystyle\frac {\Psi}{\hbar}$$

Nach Umstellung und Integration finden wir für $\Psi$ bzw. $\Psi^*$:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Psi \ = \ \Psi_0 \ e^{{\displaystyl... ...style ( \displaystyle\frac { p \ cT \ - \ \vec{P} . \vec{R} }{\hbar} )}} \ \ $}$$ (2.50)

$\Psi_0$ wird als Amplitude und der Exponent als Argument der Funktion $\Psi$ bezeichnet. Wie man sieht, ist das Argument von $\Psi$ reell. Die Funktion $\Psi$ wird daher als die reelle Wellenfunktion bezeichnet. Eine Anwendung dieser Lösung zeigt der Viererimpuls der IT.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\hbar (\partial_{j} \Psi^*) \ = \ P_k \ \ \qquad $}$$

Die Differential eines Vierertensors ist wiederrum ein Vierertensor. Diese Aussage ist dann erfüllt, wenn das entstandene Tensorprodukt ein invarinter Tensor ist. Die erste partielle Ableitungen eines beliebigen Vierertensors $A_{jk}$ ist dann invariant, falls sie mit dem Tensor der Vierergeschwindigkeit multipliziert wird.

$$\fbox{$ \ d A_{jk} = ( \displaystyle\frac {\partial}{\partial X_{jk}}A_{jk} ) \ d X_{jk} = ( \acute A_{jk} \ U_{jk} ) \ {dS}_j^k \ $}$$ (2.51)