Systeme von Differentialgleichungen

Die Lösungen zur linearen Differentialgleichungen der Energie Theorie kann man auch mit Maple-Befehl "exponential(A);" leicht finden. Die gesuchte Lösungen, werden aber erst durch geeignete Substitutionen und Komponentenauswahl in einfacherer Form überführt. Die mathematiscehe Bedingung hierfür ist, daß die quadratische Matrix Eigenwerte besitzt.

linalg [exponential] - Matrix exponentiell
Berufungsfolge:
exponential (A)
exponential(A, t)
Parameter:
A - eine quqdratische Matrix
t - (fakultativ) ein skalarer Parameter
Beschreibung:
Die Matrix exponentiell, exponential (A*t), sind eine Matrix mit derselben Form wie A und wird wie folgt definiert: Exp (A*t) = I +A*t+ 1/2 ! *A ^ 2 *t ^ 2+... Wobei I die Einheitsmatrix ist.Die exponentielle Funktion kann nur eine symbolische Antwort zurückgeben, wenn die Eigenwerte von A gefunden werden. Der Befehl mit (linalg, exponential ) erlaubt die Verwendung der abgekürzten Form dieses Befehls.

> restart;

> with(plots):

> with(plottools):

> with(linalg, exponential);

> ctr := matrix( 4, 4, [c*t, I*x, I*y, I*z, -I*x, c*t, I*z, -I*y, -I*y, -I*z, c*t, I*x, -I*z, I*y, -I*x, c*t] );

> expand(subs(sqrt(z^2+y^2+x^2)=r,exponential(ctr)[1,1])):

> subs(exp(c*t)*convert((exp(r)+exp(-r))/2,trig));

> ET:=expand(subs(sqrt(z^2+y^2+x^2)=r, exponential(ctr)[1,2])):subs((x^2+y^2+z^2)=r^2,factor(ET));

> subs(I*exp(c*t)*convert((exp(r)-exp(-r))/2,trig)*n[x]);

und die Matrix lautet:

> DET :=exp(c*t)* matrix( 4, 4, [ cosh(r), I* sinh(r)*n[x], I* sinh(r)*n[y], I*sinh(r)*n[z], -I* sinh(r)*n[x], cosh(r), I*sinh(r)*n[z], -I*sinh(r)*n[y], -I*sinh(r)*n[y], -I*sinh(r)*n[z], cosh(r), I* sinh(r)*n[x], -I*sinh(r)*n[z], I*sinh(r)*n[y], -I* sinh(r)*n[x], cosh(r)] );

Seinen Vierrevektor hat die Form:

> DET[1,k]:=exp(c*t)*linalg[vector](2,[cos(r), [n]*sin(r)]);

Analog finde wir für die impuls-Theorie mit der Matrix M:

>

> M := matrix( 4, 4, [I*c*T, X, Y, Z, -X, I*c*T, Z, -Y, -Y, -Z, I*c*T, X, -Z, Y, -X, I*c*T] );

> expand(subs(sqrt(Z^2+Y^2+X^2)=R,exponential(M)[1,1])):

> cos(R)*convert(I*sin(T*c)+cos(T*c),exp);

> IT:=expand(subs(sqrt(Z^2+Y^2+X^2)=R, exponential(M)[1,2])):subs((X^2+Z^2+Y^2)=R^2,factor(IT));

> subs(sin(R)*convert((cos(T*c)+I*sin(T*c)),exp)*N[x]);

und die entsprechnde Matrix lautet:

> DIT :=exp(I*c*T)* matrix( 4, 4, [ cos(R), sinh(R)*N[x], sin(R)*N[y], sin(R)*N[z], -sin(R)*N[x], cos(R), sin(R)*N[z], -sin(R)*N[y], -sin(R)*N[y], -sin(R)*N[z], cos(R), sin(R)*N[x], -sin(R)*N[z], sin(R)*N[y], - sin(R)*N[x], cos(R)] );

>

Seinen Vierrevektor hat die Form:

> DIT[1,k]=exp(I*c*T)*linalg[vector](2,[cos(R), [N]*sin(R)]);

Die Notwendigkeit der dualen Physik wird hier an Hand der zwei Lösungen sichtbar. Gäbe es keine Impuls-Theorie, so wurden die Lösungen der linearen DFG auf nichtperjodischen

Lösungen beschränkt bleiben.