Die Erhaltung der Elementarladung

Um die Integralform des Viererpotentials der Impulstheorie zu finden, errechnen wir das Produkt $( dF_{k1} . \acute{J_{kj}})$ auf der rechten Seite von (6.24) aus. Unter der Berücksichtigung der Beziehung in (6.29) und Vernachlässigen der Glieder, des starken Wechselwirkungspotentials und des magnetischen Potentials des Elektrons finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\begin{array}{rcl}\alpha \left(i (\d... ...\displaystyle\frac {{\vec{J}^+}_{(cT,\vec{R})}}{c \ \ R}) \right)\end{array} $}$$ (6.30)

Die Erhaltungsgrößen in der Gleichung (6.30) sind die zeitlosen Integranden,die wir hier besonders unterstreichen möchten. Für die komponenten des Viererpotentials erhalten wir schließlich:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}A_{k1} \ = \ \displaystyle\frac {1}{... ... -\displaystyle\frac {{\vec{J}^+}_{(cT,\vec{R})}}{c \ \ R}\Big) \ dV \ \quad $}$$ (6.31)

Sie ist die Lösung der Gleichung (6.1). Damit ist unsere Behauptung nämlich die Erhaltung des Viererpotentials erwiesen. Wir werden nun einer weiteren Behauptung, nämlich (6.23) die räumliche Verteilung der Elementarladung $e^-$ nachgehen und sie ebenfalls beweisen. Die Beziehung für stationären Zustand $cT\ll R$

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\int \limits_V \ dV \ {... ...{ \displaystyle\frac { - \vec{P} \ . \ \vec{R} }{\hbar} \right\} \ = \ e^- \ $}$$ (6.32)

wandeln wir zuerst in Kugelkoordinaten um. Für das Skalarprodukt $\vec{P} . \vec{R}$ schreiben wir $P\, R\, cos\vartheta$ und setzen (- $cos\vartheta = \theta$) ein. Weiterhin berücksichtigen wir, daß für die Beziehung $(\displaystyle\frac {PR}{\hbar}) = (\displaystyle\frac {R}{R_0})$ gilt, so erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\int \limits_{R=0}^{\in... ...exp}\left\{\displaystyle\frac {R}{R_0} \ \theta\right\} d \theta \ = \ e^- \ $}$$ (6.33)

Nach eliminieren von $\theta$ erhalten wir:

$$2\pi \ R_0^3 \ \varrho^-_{(R_0)} \displaystyle\int \limits \ (\di... ...right\} - {\bf exp}\left\{ -\displaystyle\frac {R}{R_0} \right\}\Big) \ = \ e^-$$ (6.34)

oder mit der Substitution $X=\displaystyle\frac {R}{R_0}$ finden wir:

$$4\pi \ R_0^3 \ \varrho^-_{(R_0)} \displaystyle\int \limits X^2 \ dX \ sinh(X) \ = \ e^-$$ (6.35)

Nach Integration dieser Gleichung erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varrho^-_{(R_0)} \ = \ \left(\displ... ...\ (\, X^2\, + \, 2\, ) cosh(X) - 2X \, sinh(X) \, - \, 2 \right)}^{-1} \quad $}$$ (6.36)

In der ersten Klammer erkennt man die Flächendichte der Implulstheorie. Für den äußersten Rand der Oberfläche $X=1$ finden wir:

$$\fbox{$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varrho^-_{(R_0)} \ = \ \left(\displa... ..., + \, \displaystyle\frac {{\bf exp}\{1\}}{2}\, - \, 2 \, \right)^{-1} \quad $}$$ (6.37)