Die Differentiale 2. Ordnung der (ET)

Der Quotient aus den infinitesimalen Vierergeschwindigkeitsvektoren und dem skalaren Abstand bilden die Ableitungen, die wir hier mit den Komponenten der Viererbeschleunigungstensor der Energietheorie bezeichnen.

$$\fbox {$ w^j = \displaystyle\frac {d V^j}{ds} = \Bigg( \ \display... ...times \ \vec{b} \ )}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}} \ \Bigg) $}$$ (2.73)

$$\fbox {$ \vec{b} = \displaystyle\frac {\displaystyle\frac {d \vec... ...ystyle\frac {v^2}{c^2} )^3}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $}$$ (2.74)

Mit (2.59) erhalten wir für das doppelte Kreuzprodukt des imaginären Zählers in (2.73) :

$$\vec{\beta} \ \times \ ( \ \vec{\beta} \ \times \ \vec{b} \ ) \ = - \ \beta^2 \ \vec{b} \ + \ \vec{\beta} \ ( \vec{\beta} \ . \ \vec{b} )$$ (2.75)

Steht der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ senkrecht auf dem Beschleunigungsvektor $\vec{b}$ , so verschwindet das Skalarprodukt in der Klammer. Im Gegensatz zu der Impulstheorie verschwindet nicht der imaginäre Teil dieses Vierervektors. Durch das Differenzieren vom Quadrat des Vierergeschwindigkeitstensors (2.55) erhält man:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}V^{jk} \ . \ w^{kj} \ + \ w^{jk} \ . \ V^{kj} \ = \ N_{jk} \ = \ N_{kj} $}$$ (2.76)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}V^{jk} \ . \ w^{kj} \ = \ - w^{jk} \ . \ V^{kj} $}$$ (2.77)